Androidの天気予報の定番アプリといえば、Yahoo!天気やtenki.jp、ウェザーニュースあたりかなと思います。
見た目は外国製のアプリのほうがいいのですが、日本の気象データを使っていないのであてになりません。日本気象協会などの情報を元に天気予報を表示する日本のアプリが一番。
個人的には、2016年末で配信が停止された、おてがる天気(広告ありで無料)を今もずっと使い続けています。表示がシンプルで見やすいアプリなだけに、広告があるのが残念。
ちなみに、気象データの提供元は気象業務支援センターです。
最新版は広告がさらに大きくなってしまったので、バージョンを1.0.1で固定しています。
おてがる天気 for Android 4.0+ APK ダウンロード